Enigma no mundo dos quadrados

Descubra o mistério do revezamento.

No mundo dos quadrados há uma região em que o chão é muito frio. E por lá estavam dez deles, todos do mesmo tamanho. Para se aquecerem, esses quadrados ficam empilhados, um em cima do outro. Aqui estão algumas das maneiras como foram encontrados:

Como nenhum quadrado quer ficar em contato com o chão frio o tempo todo e como pilhas muito grandes não são muito agradáveis para os quadrados que ficam na parte de baixo, eles inventaram uma regra de revezamento. É assim: depois de uma hora, todos os quadrados que estavam no chão formam à esquerda uma nova pilha (ou coluna) de quadrados, e, dessa forma, eles, exceto um, não ficam mais no chão. Seguindo essa regra, o arranjo dos dez quadrados vai mudando a cada hora.

A seguir, na primeira pilha, você observa o arranjo dos quadrados em uma determinada hora. Depois, indo para a direita, os arranjos nas horas seguintes.

Note que o último arranjo da esquerda para a direita, de tamanhos 4, 3, 2 e 1, se seguirmos a regra, torna a virar um arranjo com pilhas de tamanhos 4, 3, 2 e 1. Ou seja, essa forma não muda com o tempo. Vamos chamar esse arranjo “escadinha”, tudo bem? 

E daí é que surge o enigma… Quais são as maneiras de empilhar os dez quadrados tais que, seguindo a regra, após algumas horas chegaremos ao arranjo escadinha?

Acho que uma maneira divertida de encarar esse enigma é escolher um arranjo para começar e modificá-lo sempre seguindo a regra, para ver se você acaba chegando ou não no arranjo escadinha.

Cá entre nós, existem 42 maneiras diferentes para se começar, e tudo bem você não ter tempo ou paciência para explorar todas essas 42 maneiras. Então, aqui vai uma dica: não importa qual dessas dezenas de maneiras você escolha como arranjo inicial para os 10 quadrados, após algumas horas, seguindo a regra, sempre vai aparecer o arranjo escadinha!

E a mesma coisa aconteceria com outros números triangulares. Por exemplo: para 45 quadrados, existem 89.134 (oitenta e nove mil, cento e trinta e quatro) maneiras de empilhá-los.  E não importa qual maneira você escolha, depois de aplicar a regra por algumas horas os quadrados vão ficar assim:

Gráficos Marina Vasconcelos

pedro_roitman
Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília
Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 05.07.2024

COMENTÁRIOS

  • Pedro Gomes Barros

    Salvador, 17 de julho de 2024

    Oi galera do CHC! Sou Pedro e gostaria de dizer que adorei o Enigma no mundo dos quadrados! Gostei do jeito que os quadrados se movem 🙂 o “arranjo escadinha” 😂😂

    Beijos,
    Pedro

    Publicado em 17 de julho de 2024 Responder

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