Enquanto as formigas brincam, os matemáticos também se divertem

Depois de uma aula de Educação Física, algumas bolas de mesmo tamanho ficaram espalhadas em uma quadra de esportes. Notando a ausência de humanos, algumas formiguinhas foram brincar com as bolas. Cada formiga escolheu uma das bolas. A brincadeira era tentar ficar em uma posição de forma que nenhuma outra formiga que estivesse brincando conseguisse ver a outra. Era um esconde-esconde de formigas!

Elas começaram a brincadeira com apenas duas bolas, uma formiga em cada bola.  Assim, cada formiga teria metade de uma bola onde ela poderia ficar sem ser vista, certo? A imagem a seguir é de um drone que filmou as duas bolas e nos ajuda a entender:

Vamos chamar essas partes (em azul na figura) onde as formigas não podem ser vistas, de áreas invisíveis, tudo bem? Então, uma coisa curiosa é que somando as áreas invisíveis, as duas metades, temos uma bola inteira invisível, concorda?

Depois as formigas passaram a brincar com três bolas. E surgiu a pergunta: o que será que acontece com a soma das áreas invisíveis? Será que ela aumenta, diminui ou será fica igual? Olhe esta outra imagem feita pelo drone:

Comparando com o caso das duas bolas, quando acrescentamos a terceira bola (3) há uma perda de área invisível em cada uma das duas bolas (1 e 2) que já estavam na brincadeira (são os pedaços amarelos). Mas, olha que legal: essa perda é compensada de maneira exata pela área invisível da bola 3 que entrou na brincadeira! Juntos, os dois pedaços amarelos têm a mesma área que o pedaço azul na bola 3. Então, a área invisível total não muda (veja outra imagem do nosso drone!). Você concorda?

Os matemáticos e os físicos adoram descobrir essas coisas que não variam, como essa área invisível total, eles chamam essas coisas de invariantes, ou seja, nunca mudam! O que é bacana é que elas podem estar tanto em uma brincadeira de formigas como nos mistérios do universo!