No reino da geometria, um ponto rebelde foi condenado a viver sozinho para sempre dentro de um triângulo equilátero (em que todos os lados têm o mesmo tamanho). A rebeldia do ponto funcionava assim: quando recebia uma ordem com a qual não concordava, ele simplesmente ficava imóvel e se recusava a obedecer.

Uma conselheira real, segura de que um certo grau de rebeldia poderia ser bom para o mundo, decidiu dar uma chance ao ponto aprisionado. E foi falar com ele:

– Hoje é seu dia de sorte! Ganhará a liberdade se conseguir resolver um enigma.

O ponto, se tivesse olho, olharia desconfiado. A conselheira continuou:

– Se um dos lados do triângulo que te aprisiona fosse o chão, você teria uma altura com relação a esse chão, certo? Mas, como qualquer dos lados poderia ser o chão, então temos três alturas, uma para cada lado. Veja a figura: cada altura tem a mesma cor do chão correspondente.

E ela disse mais:
– Senhor ponto rebelde, o desafio é encontrar o lugar em que a soma das três alturas é a menor possível.
Note que as três alturas mudam dependendo do local do ponto, veja a figuras:

O natural seria que o ponto se mexesse, explorasse as possibilidades, até encontrar o local onde a soma das três alturas é a menor possível, certo? Mas ele ficou paradão onde estava. Isso tinha cara, cheiro e gosto de rebeldia, mas será que era? Parecia que ele se recusava a participar do desafio ao permanecer imóvel.

A conselheira então fez sinal de que ia embora decepcionada, quando então, finalmente, o ponto disse:

– Espere um pouco! Aqui onde estou é a solução do enigma. Na verdade, eu poderia estar em qualquer local dentro do triângulo! Para todos os locais a soma das três alturas é sempre a mesma, não muda! É sempre igual à altura do triângulo que me aprisiona.

A conselheira ficou surpresa e feliz com a resposta do ponto, e ele conquistou a sua liberdade.

Aqui vai uma explicação a respeito da resposta do ponto:

A figura acima mostra que sempre podemos imaginar três triângulos equiláteros menores dentro do triângulo maior, certo? Agora imagine que o triângulo menor desliza, indo para cima, até ficar assim:

Pra terminar, girando dois triângulos em torno dos seus centros, ficamos assim:

E agora, dá para ver que a soma dos segmentos verticais (o azul, o verde e o vermelho) é exatamente a altura do triângulo equilátero que aprisionava o ponto?

Duvide de mim e desenhe um triângulo equilátero, coloque um ponto dentro em qualquer lugar e refaça o que acabamos de apresentar, para ter certeza de que funciona!

Ah! Só vale ficar parado como o ponto rebelde se tiver entendido tudo!