Os pitagóricos trocavam conhecimentos sobre temas variados. Eram inteligentes, deviam entender ensinamentos e dar novas idéias. Doavam seus bens para a irmandade e não comiam carne. Juravam não revelar descobertas científicas da sociedade para o mundo. A pena para os desobedientes era a morte.

Acreditavam que as relações entre os números revelariam segredos do universo e colocariam o homem próximo dos deuses. Para eles, os números pares e ímpares eram opostos. Como a sua soma forma novos números, representa a perfeita conciliação de contrários. A realidade funcionaria da mesma forma. As coisas são criadas por idéias opostas e é da oposição que surge o equilíbrio e a harmonia do universo.

Pitágoras proibia seus pupilos de estudar ou divulgar números irracionais. Ele os odiava porque contradiziam a teoria dos números como representantes da harmonia do universo. Os irracionais não são inteiros (1, 2 etc.), frações (1/2, 2/3 etc.) ou números decimais, que seguem um padrão (no caso do número 0,22222…, por exemplo, o dois é repetido infinitamente). O número irracional é irregular, como a raiz quadrada de dois, que é igual a 1,414213562373…! O aluno Hipaso descobriu que esse era um número diferente dos que os gregos conheciam e contou ao mestre. Pitágoras o condenou à morte.

Segundo o filósofo, fenômenos físicos e naturais seguiam leis matemáticas. Ele provou sua idéia quando, em frente a uma oficina de ferreiro, o som de martelos golpeando o ferro chamou sua atenção. Notou que alguns martelos, usados ao mesmo tempo, produziam som gostoso de escutar. Mas quando determinado martelo unia-se ao coro… o ruído incomodava os ouvidos!

Pitágoras observou os martelos. A massa dos que geravam som agradável eram proporções (ou frações) da massa dos demais. Martelos com a metade ou dois terços da massa de outro martelo produziam som harmonioso quando usados juntos. A massa do martelo que criava ruído não tinha relação numérica com a massa dos outros. O mesmo acontecia com cordas do tetracórdio, um instrumento musical. Ao tocar uma corda do tetracórdio sem prendê-la, era criado um som. Ao prender a corda em pontos que correspondiam à metade, um terço ou um quarto de seu comprimento, o som tinha harmonia com o som gerado quando se toca a corda não presa.

Antes os cientistas formulavam hipóteses, comprovadas em alguns experimentos, que podiam ser negadas a qualquer momento, pois nada era universal. Quando Pitágoras provou que leis matemáticas governam fenômenos físicos, elas passaram a ser usadas para criar teorias científicas mais precisas. Mas ele ainda faria outra grande descoberta.