Pensamento dentro da caixinha

Criatividade e imaginação também valem na hora de pensar matematicamente

Você já ouviu a expressão “é preciso pensar fora da caixinha”? Significa que vale a pena usar a criatividade ou um ponto de vista original para tentar resolver um problema complicado. Vamos ver um exemplo de como esse tipo de coisa acontece na matemática?

Olhe para o tabuleiro da figura a seguir. Ele tem a forma de um hexágono e está dividido em muitos triângulos todos com o mesmo tamanho e forma.

Agora, vamos cobrir esse tabuleiro com peças, tipo dominó, que cobrem exatamente dois dos pequenos triângulos do tabuleiro. Quando estiverem cobrindo o tabuleiro, essas peças podem ficar inclinadas à esquerda, inclinadas à direita ou sem inclinação, como mostra a próxima figura.

Há muitas e muitas maneiras diferentes de cobrir o tabuleiro inteiro com essas peças. Veja na figura algumas peças cobrindo parte do tabuleiro. Você concorda que há 4 peças inclinadas à esquerda, 4 inclinadas à direita e 2 sem inclinação? Mas note que na parte central sobrou um triângulo descoberto rodeado por três peças. Então, não seria possível preencher totalmente o tabuleiro mantendo essas peças como estão, certo?

Mas há muitas maneiras de cobrir o tabuleiro inteiro com as peças, a próxima figura mostra uma delas.

Se você contar com cuidado, vai descobrir que, para essa cobertura do tabuleiro, o número de peças inclinadas à esquerda é 9, o número de peças inclinadas à direita é 9 e o número de peças sem inclinação também é 9. Agora vem a pergunta: será que esses números são iguais para qualquer cobertura do tabuleiro por essas peças?

Uma maneira de responder seria encontrar todas as maneiras possíveis de cobrir o tabuleiro e contar, para cada cobertura, quantas peças estão inclinadas à esquerda, à direita ou sem inclinação. O problema é que existem nada mais, nada menos do que oito mil maneiras diferentes de cobrir o tabuleiro! E agora? Como é que a gente consegue responder à pergunta sem ficar maluco e entediado contando?

Olha só, o tabuleiro e as peças poderiam viver em um mundo 2D, certo? Mas a figura anterior não tem um jeitinho de 3D? Que tal a gente aproveitar essa dica do córtex visual, a parte do cérebro responsável pelo registro do que a gente vê? E com um pouco de imaginação você pode olhar para a figura acima e pensar que ela representa uns cubinhos empilhados e inclinados.

Vamos colorir para ficar mais fácil visualizar? Olha só como fica uma outra cobertura:

Gráficos Marina Vasconcelos

Imagine os cubinhos empilhados sendo iluminados por cima com uma luz vermelha, por um dos lados com uma luz azul e por um outro lado com uma luz amarela. Agora, incline o que você imaginou, será que não parece a figura colorida que está acima.

Se você imaginar que está vendo esse objeto 3D por cima, você poderá ver 9 quadradinhos vermelhos, se imaginar que está vendo pelo lado de onde vem a luz azul verá 9 quadradinhos azuis e, finalmente, se imaginar que está vendo pelo lado de onde vem a luz amarela verá 9 quadradinhos amarelos.

Assim, pensando dentro da caixinha com cubinhos empilhados, conseguimos, pelo menos, nos convencer um pouco de que essa igualdade entre os números de peças para as oito mil maneiras de cobrir o tabuleiro talvez seja quase óbvia se mudarmos o nosso ponto de vista.


pedro_roitman

Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília

Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 20.01.2021

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