O truque do Papagaio

No mundo da matemática, nem sempre acertar as contas é o mais importante

Um amigo meu tinha um papagaio que ele chamava de gênio da matemática. Um dia fui visitá-lo para conferir a Inteligência da ave de estimação. Meu amigo pediu que eu escolhesse um número. Escolhi o número 4. Então, ele falou:

– Olha só, vou pegar os quatro primeiros números ímpares, 1, 3, 5 e 7, e depois os próximos quatro, que são 9, 11, 13 e 15, certo? Agora, calcule as somas 1+3+5+7 e 9+11+13+15.

Depois ele perguntou ao ‘loro’:

– ‘Loro’, quantas vezes a segunda soma é maior do que a primeira?

O papagaio respondeu imediatamente:

– Três!

Eu peguei uma calculadora e somei 1+3+5+7, o resultado foi 16. Depois somei 9+11+13+15, e deu 48. Por último, eu fiz 16 x 3 e deu 48! Incrível, o ‘loro’ tinha acertado!

Meu amigo me disse então:

– Tente outro número. Um número maior, para você perceber como ele é um gênio.

– OK! Escolho 12. Duvido que ele consiga somar os 12 primeiros números ímpares, 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23, e comparar com a soma dos 12 que vem depois, 25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47. Duvido!

Meu amigo perguntou ao ‘loro’:

– Quantas vezes a segunda soma é maior do que a primeira?

E o ‘Loro’:

– Três!

Peguei a calculadora. A primeira soma deu 144, e a segunda deu 432. Depois eu fiz 144 x 3 e deu… 432! Nossa, será que ele era um gênio mesmo, um mutante, um papagaio extraterrestre ou algo assim?! O que você acha?

Na matemática, nem sempre acertar o resultado de uma conta é o mais importante. Os matemáticos também querem entender mistérios, como esse do papagaio matemático. Vamos testar:

Pegue uns grãos de feijão, arroz ou milho, eles vão nos ajudar a desvendar o segredo do papagaio. Vamos representar os ímpares em forma de ‘L’. Por exemplo: 1, 3, 5 e 7 ficam assim:

Agora, note que encaixando os ‘Ls’ podemos formar um quadrado.

Bacana, não é mesmo? Continue com os próximos números: 9, 11, 13 e 15, e vá encaixando para formar um quadrado maior. Vou colorir o 9, 11, 13 e 15 para facilitar a contagem.

Ahá! As bolinhas coloridas formam três quadrados do mesmo tamanho do quadrado preto! Está vendo por que sempre teremos três como resposta?

E se, em vez de fazer a soma com números ímpares, nós fizéssemos a soma com números pares? Será que a resposta seria sempre 3? Eu perguntei isso para o papagaio e ele não conseguiu responder. E você, topa tentar?


Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília

Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 29.05.2019

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