O pipocar dos números

Uma conversa sobre matemática e pipoca!

Ilustração Walter Vasconcelos

Minha filha gosta muito de pipoca, mas muito mesmo. Um dia desses, ela disse que poderia comer pipoca todos os dias, e eu perguntei:

– Mas quantas pipocas você comeria em uma semana?

E ela respondeu:

– Um milhão!

Fiquei com vontade de brincar com palavras, dizendo que pipoca vem do milho… mas ela, que já me conhece, logo se adiantou:

– Ah pai, você não vai fazer aquele trocadilho milho-milhão de novo, vai?

Eu deixei o trocadilho de lado, mas perguntei se ela, tão fominha por pipoca, me daria uma única pipoquinha para experimentar. Ela concordou que me daria uma só. E eu engatei numa brincadeira com números:

– Quantas pipocas você teria que comer por dia para terminar tudo em uma semana?

Ela pensou um pouco e não soube responder. Pegamos uma calculadora para nos ajudar e dividimos 1.000.000 (um milhão) por 7 (número de dias em uma semana). Nessa conta, assumimos que ela comeria o mesmo número de pipocas todos os dias. Bem, a calculadora deu como resposta o número 142.857,143. Ela apontou para a vírgula e falou:

– Ih, pai… Não está dando certo… Essa divisão não dá um número exato. Mas, espera aí! Lembra que eu te dei uma pipoca? Então a conta não está certa!

Ela tinha razão, então fizemos 999.999 (um milhão menos um) dividido por 7, e o resultado é: 142.857.

– Tem esse número louco grandão aí na calculadora, mas e daí, pai? – ela quis saber.

Realmente, esse número não parece ser interessante, mas, usando a calculadora eu fiz as seguintes multiplicações:

 

142857 x 2 = 285714

142857 x 3 = 428571

142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285

142857 x 6 = 857142

 

Repare que os dígitos dos resultados das multiplicações são exatamente os mesmos 1,2,4,5,7 e 8 do 142.857, só a posição deles é que aparece trocada nas multiplicações. É como se nessas multiplicações os dígitos ficassem mudando de lugar em uma fila em que o primeiro da fila vai para o final dela. Ou como se fossem pipocas pulando de lá pra cá, trocando de lugar.

Finalmente consegui arrancar uma cara de surpresa da minha filha, que foi dizendo:

– Pai, e se a gente agora multiplicar por 7, o que acontece? Vamos ver com a calculadora?

E eu falei:

– Hummm… acho que para essa conta a gente nem precisa da calculadora.

Ela, depois de pensar um pouco, conseguiu encontrar a resposta sem calculadora. Eu até diria pra você como é que ela fez isso, mas essa história me deu uma vontade tão grande de comer pipoca que vou agora correndo para a cozinha. Deixo para você o prazer de descobrir!


pedro_roitman

Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília

Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 12.12.2019

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