O infinito é realmente um dos deuses mais lindos

Ele está em toda parte e é encontrado quase sem querer

O grande poeta e artista do rock, Renato Russo, sucesso na década de 1990, disse em uma de suas músicas, chamada Quase sem querer, os seguintes versos: “Tão correto e tão bonito, o infinito é realmente um dos deuses mais lindos”. E não é que na matemática a gente encontra o infinito quase sem querer? Ele está em toda parte! Vamos ver um exemplo:

Imagine um cubo oco feito de papel com 1 centímetro de lado. Agora, imagine outro cubo menor com o lado de 1 centímetro dividido por 2. Depois, outro cubo com lado de 1 centímetro dividido por 3. Na sequência, outro cubo com lado medindo 1 centímetro dividido por 4, e assim por diante, como na figura:

Como podemos dividir por 2, 3, 4, 5 etc., é possível imaginar uma infinidade desses cubinhos, cada vez menores. Mas qual seria a quantidade total de papel que gastaríamos para fazer essa infinidade de cubinhos ocos? 

Ora, podemos pensar que, como o número de cubinhos é infinito, então o papel gasto também seria infinito, certo? Ah, mas se a resposta fosse simples assim não teria muita graça, não é mesmo? 

Os matemáticos aprenderam a lidar com esses infinitos cubinhos e descobriram que a quantidade de papel, na verdade, seria finita, ou seja, teria um fim! Mas, apesar dessa descoberta, eles queriam mesmo é saber exatamente quanto papel se gastaria para fazer os infinitos cubinhos. 

Uma grande surpresa é que a resposta para essa pergunta sobre cubinhos envolve um círculo! Vou tentar explicar com base na figura a seguir: 

Imagine um círculo feito com barbante e com diâmetro de 1 centímetro. Depois imagine que você pode cortar e esticar o barbante para que ele fique reto e forme um quadrado de papel que tenha o lado com o mesmo comprimento do barbante esticado. O papel usado para fazer este quadrado é exatamente igual ao papel necessário para fazer a infinidade de cubinhos!

Esse mistério, de passar dos infinitos cubinhos para uma quantidade finita de papel necessária para fabricá-los, é um pedacinho da razão para me fazer concordar com o poeta Renato Russo e dizer: “o infinito é realmente um dos deuses mais lindos”, uma maneira quase mágica de encontrar uma solução.


pedro_roitman

Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília

Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 23.06.2021

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