O enigma do Zé do Pulo

Será que ainda existe algum problema de matemática que ninguém tenha resolvido?

Existem perguntas matemáticas que você pode fazer para professores de matemática e eles não saberão responder? Sim, existem muitos destes enigmas! Escolhi apresentar para você um dos meus preferidos: o enigma do Zé do Pulo.

Imagine uma escada e coloque um número em cada degrau, como esta da figura (ela mostra apenas um pedaço da escada, que tem infinitos degraus!). Imagine também um sujeito, o Zé do Pulo, que vai subir e descer essa escada.

Gráfico Marina Vasconcelos

O Zé do Pulo tem dois tipos de pulos, dependendo se o degrau tem número ímpar ou número par. Em um degrau com número par, o Zé pula e vai parar no degrau com o número que é a metade do número do degrau inicial. Por exemplo, se estivesse no degrau 8, ele iria pular para o degrau 4, porque 4 é a metade de 8.

Agora, se o Zé estiver em um degrau ímpar, ele salta até o degrau imediatamente acima do degrau que é três vezes o degrau que ele estava. Parece complicado? Vamos ver um exemplo:

Se o Zé estivesse no degrau 5, iria para o degrau 16, porque 3 vezes 5 é 15 e o degrau imediatamente acima do 15 é o 16.

Quer mais um exemplo para confirmar que entendeu mesmo? Aí vai…

Se o Zé estivesse no degrau 3, iria para o degrau 10, porque 3 vezes 3 é 9 e o degrau imediatamente acima do 9 é o 10.

Agora pegue um número que você ache simpático e imagine que o Zé começa a pular a partir do degrau com esse número. O que será que acontece?

Eu vou pegar um número que acho simpático: 28. Como 28 é par, o Zé pularia para o 14, e, como 14 também é par, o Zé depois pularia para o 7. Ah, agora como 7 é ímpar, então eu multiplico o 7 por 3 e adiciono 1, e o Zé vai para o degrau 22. Beleza, 22 é par, Zé vai para o 11, depois 34, depois 17. Caramba, onde será que o Zé vai parar? Continuando: 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1… Epa! O Zé agora vai ficar repetindo para sempre essa sequência 4, 2, 1!

Será que essa repetição também acontece para o número que você escolheu? Não deixe de verificar, mas não tenha vergonha de utilizar uma calculadora para não se aborrecer demais com as contas necessárias para fazer o Zé pular.

Até hoje, para todos os lugares em que colocamos o Zé para começar a pular, ele acaba indo parar naquela sequência 4,2,1. E o enigma é justamente esse, será que para qualquer degrau inicial em que colocamos o Zé, ele acaba indo parar nos degraus 4,2,1 e fica assim repetindo para sempre? Parece simples, não? Mas até hoje ninguém conseguiu dar uma resposta, se sim ou não. Ninguém sabe!

Pronto, agora você já conhece um enigma que por enquanto ninguém conseguiu resolver. Digamos que ainda está faltando o “pulo do gato” para entender o pulo do Zé.


pedro_roitman

Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília

Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 06.08.2021

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