Mudanças e adaptações

No mundo da matemática, parece que as formas dão um jeito de evoluir!

Nestes tempos em que ouvimos falar tanto de vírus se replicando, de novas variantes e aglomerações, trago uma história geométrica para descontrair um pouco!

Um quadrado e um triângulo equilátero estavam se divertindo em um plano geométrico – que é uma espécie de quadra de esportes perfeita: bem lisinha e infinita. O desafio deles era conseguir criar réplicas de si mesmo, e depois aglomerar de forma a não deixar nenhum espaço vazio.

O quadrado começou primeiro e criou o padrão como se fosse um tabuleiro de xadrez. Estava claro que dessa maneira o quadrado e suas réplicas poderiam cobrir o plano inteiro. Em seguida, o confiante triângulo equilátero se replicou e criou o padrão desta figura:

Ele, claro, poderia continuar se replicando e preencher o plano sem deixar espaços vazios.

Aí, chegou para brincar o pentágono regular, que tem cinco lados com o mesmo tamanho e as quinas (ou ângulos) iguais. O quadrado e triângulo logo desafiaram o pentágono a também preencher o plano com cópias de si mesmo, sem deixar espaços. E o melhor que o pentágono conseguiu fazer, depois de tentar muito, foi isso:

O quadrado e o triângulo riram do pentágono até a barriga doer. Vez ou outra debochavam: “Ihhh, deixou espaço vazio!!!”. Para se exibir, eles ainda inventaram uma nova maneira de preencher o plano sem deixar espaços vazios, combinando suas formas assim:

O pentágono ficou meio triste, inferiorizado e achando que tanto o quadrado quanto o triângulo estavam muito… centrados em si mesmos. O curioso é que essa ideia de “centrados em si mesmos” levou o pentágono a pensar em algo bem bacana. Primeiro ele imaginou os centros dos quadrados e triângulos, depois ligou esses centros com segmentos de reta, sempre que quadrados e triângulos tivessem um lado em comum. E, dessa maneira, ele formou um monte de pentágonos, todos iguais!

Finalmente, ele apagou da sua imaginação os quadrados e triângulos, e ficou só com a aglomeração de pentágonos, preenchendo o plano sem deixar espaços.

Olhando com cuidado, dá para ver que esses novos pentágonos não são regulares. Mas o criativo pentágono regular não teve dificuldades em aproveitar algumas pequenas mutações e se adaptar. Ele encolheu um pouco um dos seus 5 lados, até ficar com a forma que possibilitava preencher o plano sem deixar espaços vazios.

Ao perceberem a estratégia do pentágono, o triângulo e o quadrado protestaram: “Ei, isso não vale!”. E o pentágono apenas respondeu: “Como não? Vocês vivem em que mundo? Em uma caverna onde as formas não mudam? Até parece que nunca ouviram falar na teoria da evolução!”. Você já?


pedro_roitman

Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília

Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 01.04.2022

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