Será que os dados sempre falam a verdade?

Senhor Dadinho, um cientista aparentemente maluco, adorava propor às pessoas o mesmo desafio:

– Dentro desta caixa grande tenho dois dados e um ajudante. Você não consegue ver o que está dentro da caixa. Agora, se você apertar o botão, o meu ajudante vai jogar os dados e anunciar em voz alta o resultado da soma dos valores dos dois dados. Se ele gritar 9, pode ser que tenha tirado, por exemplo, 1 e 8, ou 4 e 5, ou 3 e 6, certo? O desafio é descobrir quantas bolinhas tem em cada face de cada um dos dados. Você pode pedir para o ajudante jogar os dados e anunciar o resultado quantas vezes quiser antes de dar o seu palpite.

Um outro cientista se apresentou e disse:

– Quero que o seu ajudante jogue os dados um bilhão de vezes! Pode me mandar o arquivo com os resultados.

O senhor Dadinho precisou contratar muitos ajudantes para acelerar a tarefa de jogar dados. Mas, depois de algumas semanas, ele comunicou os resultados ao cientista. Após uma análise, o cientista orgulhosamente deu a sua resposta:

– Senhor Dadinho, o senhor quer nos fazer de tolos com o seu desafio? Veja bem: analisando um bilhão de jogadas, vimos que o valor máximo da soma foi 12, e o mínimo foi 2. O valor da soma que apareceu mais vezes foi o 7. Depois, praticamente empatados, foram o 6 e o 8. Em seguida, vieram o 5 e 9; o 4 e o 10; o 3 e o 11; e, finalmente, o 2 e 12. Eu comparei os resultados dos seus dados com o que a teoria das probabilidades, uma área da matemática que prevê os acontecimentos, para dois dados normais com 1 a 6 bolinhas em suas faces, e está tudo em acordo perfeito com o bilhão de jogadas dos seus ajudantes. Assim, declaro que os seus dois dados eram dados comuns, e você queria mesmo era nos fazer de bobos.

O senhor Dadinho fez cara de bravo e, com os punhos cerrados, foi para cima do cientista. Mas, ao chegar bem perto, sorriu, esticou os braços e mostrou seu par de dados.

                                                                              Gráfico Marina Vasconcelos

Um dos dados tinha nas faces os seguintes números de bolinhas: 1, 2, 2, 3, 3 e 4; o outro tinha 1, 3, 5, 4, 6 e 8. Repare que um dos dados tinha duas faces com duas bolinhas e duas faces com três bolinhas.

O cientista ficou espantado, mas logo sorriu e disse:

– O senhor me pegou, senhor Dadinho!

Curioso é que, com esses dados, a chance de se obter 7 como soma dos valores dos dois dados é exatamente a mesma chance de se obter 7 com um par de dados normais! Vamos entender?

Com esse par de dados diferentes, podemos obter 7 como a soma dos dois dados de 6 maneiras: 1 e 6, 2 e 5, 2 e 5, 3 e 4, 3 e 4, 4 e 3. Detalhe: contamos o 2 e 5 duas vezes, porque há duas faces com o número 2 em um dos dados. A mesma coisa acontece para o 3 e o 4.

Já para os dados normais temos também 6 maneiras: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 6 e 1, 5 e 2, 4 e 3.

O que é bacana é que isso não vale apenas para o 7, mas para todos os outros valores possíveis: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 e 12! Se a soma for 12, por exemplo, só há uma maneira nos dados do senhor Dadinho: 4 e 8. E, para os dados normais, só há uma maneira também: 6 e 6. Será que você consegue verificar para os outros valores?

Ah, sim! O desafio do senhor Dadinho não era uma pegadinha. O que ele queria mesmo era saber se as pessoas conseguem pensar em caminhos alternativos para entender as coisas ou se ficam presas às explicações mais imediatas e simples. O que você acha?