A regra da reta justa

Nesta corrida, você pode se livrar dos caminhos injustos para chegar
ao tesouro

                                                                             Ilustração Marina Vasconcelos

Você sabe dizer rapidamente quando a regra de uma brincadeira é injusta? Por exemplo: vamos supor que duas pessoas partam ao mesmo tempo dos pontos A e B, como mostra a figura, e tenham como objetivo correr até chegar a um tesouro que está no ponto T. Bem, se o tesouro está mais próximo do ponto A do que do ponto B, é claro que quem partir do ponto A levará vantagem sobre quem parte do ponto B. Nesse caso, a brincadeira é injusta, certo?

E se a brincadeira for encontrar um local para o ponto T, para que a corrida ao tesouro seja justa? Agora você pode estar pensando que o ponto T só poderia ficar bem no meio, entre A e B. Parece mesmo uma boa ideia, porque esse local para o tesouro torna a brincadeira justa. Mas vou colocar uma pulga atrás da sua orelha: será que essa é a única posição possível? Pegue uma folha em branco, desenhe os pontos A e B e tente descobrir se existe outro lugar para colocar o tesouro de forma que a corrida seja justa.

E aí?

Olha, na verdade, existem infinitas posições para o tesouro: ele poderia estar, por exemplo, em qualquer ponto da reta desenhada nesta figura.

Vamos chamar esta reta de: ‘a reta justa para os pontos A e B’ – na escola ela é conhecida como mediatriz. Essa reta pode ser traçada com a ajuda de uma régua e um compasso. Caso você tenha uma régua à mão, que tal escolher um ponto qualquer da ‘reta justa’ e usar a régua para medir a distância deste ponto até A e B? Só para ter certeza de que não estou falando besteira.

Para terminar o desafio… E se, em vez duas pessoas correndo para o tesouro, nós tivéssemos três? Vamos supor que elas estivessem nos pontos A, B e C, como na figura a seguir.

Será que existe algum local para posicionar o T para que as distâncias até A, B e C sejam iguais e a corrida ao tesouro seja justa?

Uma dica para tornar a brincadeira ainda menos injusta: trace três retas – a ‘reta justa’ para os pontos A e B; a ‘reta justa’ para os pontos B e C e a ‘reta justa’ para os pontos A e C. Ah! Não se esqueça de olhar para o local onde essas retas se cruzam.


pedro_roitman

Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília

Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 01.06.2022

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